Задача 55197

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенства для углов треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка O лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого.

Подсказка

Один из углов между отрезками, соединяющими точку O с центрами даных кругов, не превосходит 60^o. В соответствующем треугольнике этот угол не наибольший.

Решение

Пусть O₁, O₂, O₃, O₄, O₅, O₆ — центры данных кругов. Один из углов между отрезками, соединяющими точку O с этими точками, не превосходит 60^o. Пусть это угол O₁OO₂. Тогда в треугольнике O₁OO₂ этот угол не может быть наибольшим. Поэтому и сторона O₁O₂ — не наибольшая в этом треугольнике.

Пусть O₁O₂ OO₁. Поскольку OO₁ меньше радиуса круга с центром O₁, то точка O₂ принадлежит этому кругу.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3551