Информация о задаче

Задача 55177

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.

Произведение основания на высоту для данного треугольника постоянно.

Пусть a, b, c — стороны треугольника; к стороне a проведена высота, равная 12, к стороне b — высота, равная 20, к стороне c -- высота h. Тогда

$\displaystyle {\frac{a}{b}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{20}{12}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{3}}$ .

Положим a = 5x, b = 3x. Поскольку 5x^.12 = ch, то h = ${\frac{60x}{c}}$ . Поскольку a, b, c — стороны треугольника, то

c > a - b = 2x.

Следовательно

h = $\displaystyle {\frac{60x}{c}}$ < $\displaystyle {\frac{60x}{2x}}$ = 30.


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3531