Задача 55174

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На продолжении стороны AC треугольника ABC отложен отрезок  CD = CB.  Докажите, что если  AC > BC,  то угол ABD – тупой.

Подсказка

Проведите биссектрису угла ACB.

Решение 1

  Пусть CK – биссектриса треугольника ABC (рис. слева). Поскольку  AC > BC,  то  ∠ABC > ∠BAC,  а так как  ∠ACK = ∠BCK,  то  ∠AKC > ∠BKC.  Следовательно, угол AKC – тупой.
  С другой стороны,  ∠ACK = ½ ∠ACB = ∠CDB.
  Следовательно,  CK || BD  и  ∠ABD = ∠AKC.  Поэтому  ∠ABD > 90°.

Решение 2

  Пусть окружность с центром в точке C и радиусом  CD = CB  пересекает отрезок AC в точке M (рис. справа). Тогда  ∠ABD = ∠ABM + ∠MBD.
  Поскольку  ∠MBD = 90°,  то  ∠ABD > 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3528