ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55127
Темы:    [ Медиана делит площадь пополам ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разделил его на два четырёхугольника, имеющих равные площади. Докажите, что эти стороны параллельны.


Подсказка

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.


Решение

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ и $S_{AMND} = S_{BMNC}$

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому треугольники $AMN$ и $BMN$ равновелики. Тогда $$ S_{\Delta AND}=S_{AMND}-S_{\Delta AMN} = S_{BMNC}-S_{\Delta BMN}=S_{\Delta BNC}, $$

т.е. треугольники $ADN$ и $BNC$ также равновелики. Поэтому высоты $AA_1$ и $BB_1$ этих треугольников равны. Следовательно, $AB \parallel CD$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3202

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .