Информация о задаче

Задача 55119

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

AB — диаметр; BC и AC — хорды, причем $\cup$ BC = 60^o; D — точка пересечения продолжения диаметра AB и касательной CD. Найдите отношение площадей треугольников DCB и DCA.

Подсказка

Треугольники DCB и DAC подобны.

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ DCB = $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ DAC,

то треугольники DCB и DAC подобны. Коэффициент подобия равен ${\frac{CB}{AC}}$ .

Поскольку $\angle$ ACB = 90^o, а $\angle$ CAB = 30^o то

$\displaystyle {\frac{CB}{AC}}$ = tg30^o = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta DCB}}{S_{\Delta DAC}}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{CB}{AC}}\right.$ $\displaystyle {\frac{CB}{AC}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{CB}{AC}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

Ответ

${\frac{1}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3194