|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек P, для которых:
а) треугольники APB и ABC равновелики;
б) треугольники APB и APC равновелики;
в) треугольники APB, APC и BPC равновелики.
Решение
а) Поскольку равновеликие треугольники APB и ABC имеют общее основание AB, то равны их высоты, проведённые из вершин соответственно C и P. Значит, геометрическое место точек P совпадает с геометрическим местом точек, удалённых от прямой AB на расстояние, равное высоте CH треугольника ABC, а это, как известно, — две параллельные прямые, удалённые от прямой AB на расстояние, равное CH.
б) Поскольку равновеликие треугольники APB и APC имеют общее основание AP, то равны их высоты, проведённые из вершин соответственно B и C. Значит, точки B и C равноудалены от прямой AP. Следовательно, прямая AP либо параллельна прямой BC, либо проходит через середину отрезка BC. Таким образом, искомое геометрическое место точек — это две прямые, одна из которых проходит через точку A параллельно BC, а вторая содержит медиану треугольника ABC, проведённую из вершины A, причём сама точка A исключается.
в) Из предыдущего рассуждения следует, что искомое ГМТ состоит из четырёх следующих точек: точка пересечения медиан треугольника ABC и точки пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника ABC параллельно противолежащим сторонам.
Ответ
а) Две параллельные прямые, удалённые от прямой AB на расстояние, равное высоте CH треугольника ABC;
б) две прямые, одна из которых проходит через точку A параллельно BC, а вторая содержит медиану треугольника ABC, проведённую из вершины A, причём сама точка A исключается;
в) четыре точки: точка пересечения медиан треугольника ABC и вершины треугольника, для которого стороны треугольника ABC являются средними линиями.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3155 |
