|
|
 |
Условие
Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, а продолжения сторон AB и CD – в точке O. Отрезок MO перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найдите отношение площадей треугольника AOD и четырёхугольника ABCD, если OA = 12, OD = 8, CD = 2.
Подсказка
Пусть P – точка пересечения прямой OD и прямой, проходящей через точку A параллельно OM. Тогда треугольник AOP – равнобедренный.
Решение
Предположим, что точка C расположена между точками O и D. Проведём через точку A прямую, параллельную MO. Пусть P, Q и T – точки пересечения этой прямой с прямой OD, с биссектрисой угла AOD и с прямой MB соответственно.
Треугольник POA – равнобедренный, так как его биссектриса OQ является высотой. Поэтому OP = OA = 12. Значит,
PD = OP – OD = 4.
Из подобия треугольников MDO и ADP следует, что
MO = AP·OD/DP = 2AP.
Из подобия треугольников PCT и OCM находим:
PT = MO·PC/CO = MO = 2AP. Следовательно, AT = AP и MO = 2AT.
Из подобия треугольников MBO и TBA следует, что
OB : AB = MO : AT = 2 : 1.
Если SAOD = S, то SBOC = 2/3·6/8 S = S/2. Поэтому
SABCD = SAOD – SBOC = S/2.
Если точка D расположена между точками O и C, то, рассуждая аналогично, найдём, что SAOD : SABCD = 14 : 11.
Ответ
2 : 1 или 14 : 11.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3148 |
