Задача 55091

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дана трапеция ABCD, в которой  BC = a,  AD = b.  Параллельно основаниям BC и AD проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке P, диагональ AC в точке L, диагональ BD в точке R и сторону CD в точке Q. Известно, что  PL = LR.  Найдите PQ.

Подсказка

Прямая BL делит основание AD пополам.

Решение

  Пусть M – точка пересечения диагоналей данной трапеции. Предположим, что точка L лежит между точками A и M. Обозначим  PL = x.  Из подобия треугольников APL и ABC следует, что  AP : AB = x : a.  Поэтому  
  Пусть K – точка пересечения прямой BL с основанием AD. Так как BL – медиана треугольника PBR, то BK – медиана гомотетичного треугольника ABD, то есть  AK = KD = ^b/₂.  Поэтому     откуда     Поскольку  QR : BC = PL : BC,  то  RQ = PL = x.  Следовательно,  
  Если точка L лежит между M и C, то аналогично находим, что  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3147