Задача 55090

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC площади 1. На медианах AK, BL и CN взяты точки P, Q и R так, что  AP = PK,  BQ : QL = 1 : 2,  CR : RN = 5 : 4.  Найдите площадь треугольника PQR.

Решение

  Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда  MP = (⅔ – ½)AK = ⅙ AK = ¼ AM,  MQ = ⅓ BL = ½ BM,  MR = (⅔ – ⁵/₉) NC = ¹/₉ NC = ⅙ MC.
  Поэтому  S_MPQ = ¼·½ S_AMB = ¹/₂₄,  S_QMR = ½·⅙ S_BMC = ¹/₃₆,  S_PMR = ¼·⅙ S_AMC = ¹/₇₂,  S_PQR = ¹/₂₄ + ¹/₃₆ + ¹/₇₂ = ¹/₁₂.

Ответ

¹/₁₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3146