Информация о задаче

Задача 55078

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC, COD, AOD равны соответственно 20, 40, 60. Найдите угол BAO, если известно, что AB = 15, AO = 8, а угол BAO больше 31^o.

Подсказка

Площадь треугольника AOB вдвое меньше площади треугольника AOD.

Решение

Поскольку

$\displaystyle {\frac{BO}{OD}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BOC}}{S_{\Delta COD}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{20}{40}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ,

то

S_AOB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_AOD = 30,

т.е.

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AO^.AB sin $\displaystyle \angle$ BAO = 60 sin $\displaystyle \angle$ BAO = 30.

Отсюда находим, что $\angle$ BAO = 30^o или $\angle$ BAO = 150^o. Условию задачи удовлетворяет только второе решение.

Ответ

150^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3134