Информация о задаче

Задача 55076

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне AB треугольника ABC взята точка E, а на стороне BC — точка D, причём AE = 2, а CD = 11. Прямые AD и CE пересекаются в точке O. Найдите площадь четырёхугольника BDOE, если AB = BC = 8, а AC = 6.

Подсказка

Найдите отношение ${\frac{AO}{OD}}$ .

Решение

Обозначим S_ABC = S. Тогда

S_BEC = $\displaystyle {\frac{BE}{AB}}$ ^.S = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ S.

Через вершину A проведём прямую, параллельную BC, и продолжим отрезок CE до пересечения с этой прямой в точке T. Из подобия треугольников TAE и CBE находим, что

AT = BC^. $\displaystyle {\frac{AE}{BE}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$ .

Из подобия треугольников TAO и CDO —

$\displaystyle {\frac{AO}{OD}}$ = $\displaystyle {\frac{AT}{DC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$ .

Поэтому

S_CDO = $\displaystyle {\frac{DO}{AD}}$ ^.S_ADC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{11}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ ^.S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{88}}$ S.

Следовательно,

S_BDOE = S_BEC - S_CDO = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ S - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{88}}$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{63}{88}}$ S.

Высоту BM равнобедренного треугольника ABC находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABM:

BM = $\displaystyle \sqrt{AB^{2} - AM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{64-9}$ = $\displaystyle \sqrt{55}$ .

Тогда

S = S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BM = 3 $\displaystyle \sqrt{55}$ ,

Следовательно,

S_BDOE = $\displaystyle {\textstyle\frac{63}{88}}$ ^.3 $\displaystyle \sqrt{55}$ = $\displaystyle {\frac{189\sqrt{55}}{88}}$ .

Ответ

${\frac{189\sqrt{55}}{88}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3132