Задача 55061

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме ABCD сторона AB равна 6, а высота, проведённая к основанию AD, равна 3. Биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке M, причём  MC = 4.  N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Найдите площадь треугольника BNM.

Подсказка

Треугольник ABM – равнобедренный.

Решение

  Поскольку  ∠AMB = ∠MAD = ∠MAB,  то треугольник ABM – равнобедренный,  BM = AB = 6.  Значит,  AD = BC = BM + MC = 10.  Из условия  S_BDM = 9.
  Из подобия треугольников BNM и DNA следует, что  BN : ND = 6 : 10 = 3 : 5.  Следовательно,  S_BNM = ³/₈ S_BDM = ²⁷/₈.

Ответ

²⁷/₈.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3117