ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55051
Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD отрезки AB и CD являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника BCE, если AB = 30, DC = 24, AD = 3 и $ \angle$DAB = 60o.


Подсказка

Найдите, какую часть площадь треугольника BCE составляет от площади треугольника DCB.


Решение

Пусть DK — высота данной трапеции. Из прямоугольного треугольника AKD находим, что

DK = AD sin$\displaystyle \angle$DAB = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{2}}$.

Высота треугольника DCB, проведённая из вершины B, также равна $ {\frac{3\sqrt{3}}{2}}$. Поэтому его площадь равна $ {\frac{3\sqrt{3}\cdot DC}{4}}$ = 18$ \sqrt{3}$.

Из подобия треугольников AEB и CED следует, что

$\displaystyle {\frac{BE}{DE}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{DC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{30}{24}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$.

Поэтому $ {\frac{BE}{BD}}$ = $ {\frac{5}{9}}$. Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$BCE = $\displaystyle {\frac{BE}{BD}}$ . S$\scriptstyle \Delta$DCB = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{9}}$ . 18$\displaystyle \sqrt{3}$ = 10$\displaystyle \sqrt{3}$.


Ответ

10$ \sqrt{3}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3107

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .