Задача 55049

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки K , L и M , причём AK:KB = 2:3 , BL:LC = 1:2 , CM:MA = 3:1 . В каком отношении отрезок KL делит отрезок BM ?

Решение

Пусть O — точка пересечения отрезков BM и KL . Обозначим = x , S_{Δ ABC} = S . Тогда

S_{Δ BKL} = · S = S, S_{Δ ABM} = S, S_{Δ BCM} = S,

S_{Δ BOK} = · x· S_{Δ ABM} = xS, S_{Δ BOL} = xS_{Δ BCM} = xS.
Поскольку
S_{Δ BKL} = S_{Δ BOK} + S_{Δ BOL},
то
= x + x.
Отсюда находим, что x = .

Ответ

1:1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3105