Информация о задаче

Задача 55035

Темы:	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AD и EC пересекаются в точке O. Отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник AOC, к радиусу окружности, вписанной в четырёхугольник ODBE, равно ${\frac{2}{3}}$ . Найдите отношение ${\frac{AC}{BC}}$ .

Подсказка

Площади треугольника и четырёхугольника равны их полупериметрам, умноженным на радиусы вписанных окружностей. Кроме того, S_AOC = S_ODBE.

Решение

Пусть M — середина стороны AC. Обозначим AD = CE = 3a, AC = 2c, AB = BC = 2b. Площади треугольника AOC и четырёхугольника ODBE равны, т.к. каждая из них составляет третью часть площади треугольника ABC. Полупериметр четырёхугольника ODBE и треугольника AOC равны соответственно

OD + DB = a + b, OC + CM = 2a + c.

Поскольку площади четырёхугольника и треугольника равны, то их полупериметры обратно пропорциональны радиусам вписанных в них окружностей, т.е.

$\displaystyle {\frac{a + b}{2a + c}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ .

Отсюда находим, что a = 3b - 2c.

По теореме Пифагора

BM² = BC² - CM², OM² = OC² - CM²,

а т.к. BM = 3OM, то

BM² = 9OM², или 4b² - c² = 9(4a² - c²).

Поэтому 9a² = b² + 2c². Подставим в это уравнение a = 3b - 2c. После упрощения получим:

17c² - 54bc + 40b² = 0.

Отсюда находим, что ${\frac{c}{b}}$ = 2 (что невозможно) или ${\frac{c}{b}}$ = ${\frac{20}{17}}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{b}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{20}{17}}$ .

Ответ

${\frac{20}{17}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3091