Информация о задаче

Задача 55027

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь трапеции ABCD равна S, отношение оснований ${\frac{AD}{BC}}$ = 3. На прямой, пересекающей продолжение основания AD за точку D, расположен отрезок EF, причём AE || DF, BE || CF и ${\frac{AE}{DF}}$ = ${\frac{CF}{BE}}$ = 2. Найдите площадь треугольника EFD (найдите все решения).

Подсказка

Пусть точка N — точка пересечения прямых EF и BC. Тогда либо B — середина NC, либо N лежит на отрезке DC и ${\frac{BN}{NC}}$ = ${\frac{1}{2}}$ .

Решение

Пусть M — точка пересечения прямых EF и AD. Поскольку точка D лежит между точками A и M, то из условия задачи следует, что D — середина отрезка AM.

Пусть N — точка пересечения прямых EF и BC. Возможны два её положения: либо B — середина отрезка NC, либо N лежит на отрезке BC и ${\frac{BN}{NC}}$ = ${\frac{1}{2}}$ . Обозначим BC = a. Тогда AD = DM = 3a.

В первом случае NE = EF = FM. Поэтому, если провести высоту трапеции через точку E, то она разделится этой точкой в отношении ${\frac{1}{2}}$ .

Пусть h — высота трапеции. Тогда ${\frac{2}{3}}$ h — высота треугольника AEM, поэтому

S_AEM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^. $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ h = 3a^. $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ h = 2ah,

а т.к. S = ${\frac{1}{2}}$ (3a + a)h = 2ah, то

S_AEM = S, S_EDF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S.

Во втором случае EF = FM, EN = ${\frac{1}{2}}$ FN. Поэтому высота треугольника DEM, опущенная из вершины E, равна ${\frac{6}{5}}$ h,

S_DEM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.3a^. $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{5}}$ h = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{5}}$ ah = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{10}}$ S,

S_EFD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_DEM = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{20}}$ S.

Ответ

${\frac{1}{4}}$ S, ${\frac{9}{20}}$ S.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3083