Задача 55010

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол C равен 30°, а угол A – острый. Перпендикулярно стороне BC проведена прямая, отсекающая от треугольника ABC треугольник CNM (точка N лежит между вершинами B и C). Площади треугольников CNM и ABC относятся, как  3 : 16.  Отрезок MN равен половине высоты BH треугольника ABC. Найдите отношение  AH : HC.

Подсказка

Треугольники BHC и MNC подобны.

Решение

  Заметим, что  ^CN/_BC·^CM/_AC = ^S_MNC/_SABC = ³/₁₆.
  Треугольник MNC подобен треугольнику BHC с коэффициентом ½, поэтому  ^CN/_CH = ½,  ^CM/_CB = ½.  Значит,  ^CN/_AC = ³/₈,  а   ^CH/_AC = ¾. Следовательно,
^AH/_HC = ¹/₃.

Ответ

1 : 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3066