ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55004
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Удвоение медианы ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Медианы треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.


Подсказка

Докажите, что площадь треугольника, образованного медианами данного треугольника, составляет $ {\frac{3}{4}}$ площади данного треугольника.


Решение

Пусть B1 — середина стороны AC треугольника ABC, M — точка пересечения его медиан. На продолжении медианы BB1 за точку B1 отложим отрезок B1K, равный MB1. Тогда AMCK — параллелограмм, CK = AM.

Стороны треугольника KMC составляют $ {\frac{2}{3}}$ соответствующих медиан треугольника ABC. Поэтому треугольник KMC подобен треугольнику, стороны которого равны медианам треугольника ABC. Тогда площадь треугольника KMC составляет $ {\frac{4}{9}}$ площади треугольника со сторонами 3, 4, 5, т.е. $ {\frac{4}{9}}$ . 6 = $ {\frac{8}{3}}$. Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ABC = 6S$\scriptstyle \Delta$B1MC = 6 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S$\scriptstyle \Delta$KMC = 8.


Ответ

8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3060

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .