Информация о задаче

Задача 54997

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан параллелограмм ABCD. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает прямые AB и AD в точках K и L. Площади треугольников KBC и CDL равны p и q. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Подсказка

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Решение

Рассмотрим случай, когда точка L лежит на стороне AD. Пусть S — площадь треугольника AKL. Тогда коэффициент подобия треугольников AKL и BKC равен ${\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{p}}}$ , а треугольников AKL и DCL — ${\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{p} - \sqrt{S}}}$ . Поэтому

S = q $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{p} - \sqrt{S}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{p} - \sqrt{S}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{p} - \sqrt{S}}}\right)^{2}_{}$ .

Отсюда находим, что

q = ( $\displaystyle \sqrt{p}$ - $\displaystyle \sqrt{S}$ )², $\displaystyle \sqrt{S}$ = $\displaystyle \sqrt{p}$ - $\displaystyle \sqrt{q}$ .

Следовательно,

S_ABCD = p - S + q = p - ( $\displaystyle \sqrt{p}$ - $\displaystyle \sqrt{q}$ )² + q = 2 $\displaystyle \sqrt{pq}$ .

Ответ

2 $\sqrt{pq}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3053