ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54995
Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Теорема синусов ]
[ Отношения площадей ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из точки P, расположенной внутри остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры на его стороны. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны a и k, b и m, c и n. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.


Подсказка

Синусы углов между указанными перпендикулярами равны синусам соответствующих углов треугольника ABC.


Решение

Пусть K, M и N — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны BC = a, AC = b, AB = c соответственно; PK = k, PM = m, PN = n. Тогда

S$\scriptstyle \Delta$KMN = S$\scriptstyle \Delta$MPN + S$\scriptstyle \Delta$KPN + S$\scriptstyle \Delta$MPK =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$mn sin(180o - $\displaystyle \angle$A) + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$kn sin(180o - $\displaystyle \angle$B) + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$km sin(180o - $\displaystyle \angle$C) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(mn sin$\displaystyle \angle$A + kn sin$\displaystyle \angle$B + km sin$\displaystyle \angle$C).

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta KMN}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}(mn\sin \angle A + kn\sin \angle B + km\sin \angle C)}{\frac{1}{2}bc\sin \alpha}}$ =

$\displaystyle {\frac{mn + kn\cdot \frac{\sin \angle B}{\sin \angle A}+km\cdot \frac{\sin \angle C}{\sin \angle A}}{bc}}$ = $\displaystyle {\frac{mn + kn\cdot \frac{b}{a}+km\cdot \frac{c}{a}}{bc}}$ = $\displaystyle {\frac{nma+knb + kmc}{abc}}$.


Ответ

$ {\frac{abc}{kmc + nma + knb}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3051

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .