ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54951
Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки M и N принадлежат соответственно сторонам AB и AC треугольника ABC или их продолжениям. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ . $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$.


Подсказка

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.


Решение

Первый способ.

Поскольку высоты треугольников AMC и ABC, проведённые из общей вершины C, совпадают, то

SAMC = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ . S$\scriptstyle \Delta$ABC.

Аналогично находим, что

SAMN = $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ . S$\scriptstyle \Delta$AMC.

Поэтому

SAMN = $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ . S$\scriptstyle \Delta$AMC = $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ . $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ . S$\scriptstyle \Delta$ABC.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ . $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$.

Второй способ.

Поскольку площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, то

S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB . AC . sin$\displaystyle \angle$BAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB . AC . sin$\displaystyle \alpha$,

S$\scriptstyle \Delta$AMN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . AM . AN . sin$\displaystyle \angle$BAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AM . AN . sin$\displaystyle \alpha$,

где $ \alpha$ либо равен углу $ \angle$BAC, либо дополняет его до 180o. Тогда

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}AM\cdot AN\cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2}AB\cdot AC \cdot \sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ . $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3007

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .