ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54901
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике PQR сторона PQ не больше чем 9, сторона PR не больше чем 12. Площадь треугольника не меньше чем 54.
Найдите его медиану, проведённую из вершины P.


Решение

  Пусть S – площадь треугольника PQR, PM – его медиана, α – угол при вершине P. Тогда  54 ≤ S = ½ PQ·PR sin α ≤ ½ 9·12 sin α = 54 sin α ≤ 54.
  Это возможно лишь в случае, когда  S = 54,  PQ = 9,  PR = 12,  α = 90°.  При этом треугольник PQR прямоугольный, поэтому
QR² = PQ² + PR² = 81 + 144 = 15².
  Следовательно,  PM = ½ QR = 7,5.


Ответ

7,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5201

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .