Информация о задаче

Задача 54887

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC медианы AM и CL перпендикулярны, BC = a, AC = b. Найдите площадь треугольника ABM.

Подсказка

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Решение

Пусть медианы AM и CL пересекаются в точке O. Обозначим OM = x, OL = y. Тогда по теореме о медианах AO = 2x, CO = 2y. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AOC и COM находим, что

4x² + 4y² = b² и x² + 4y² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ a².

Из полученной системы уравнений находим, что

x² = $\displaystyle {\frac{4b^{2} - a^{2}}{12}}$ , y² = $\displaystyle {\frac{a^{2} - b^{2}}{12}}$ .

Известно, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, поэтому

S_ABM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.6^.S_COM = 3^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OM^.OC =

= 3^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.x^.2y = 3xy = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{(4b^{2} - a^{2})(a^{2} - b^{2})}$ .

Ответ

${\frac{1}{4}}$ $\sqrt{(4b^{2} - a^{2})(a^{2} - b^{2})}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2833