Информация о задаче

Задача 54871

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известны высоты: h_a = ${\frac{1}{3}}$ , h_b = ${\frac{1}{4}}$ , h_c = ${\frac{1}{5}}$ . Найдите отношение биссектрисы CD к радиусу описанной окружности.

Подсказка

Произведение стороны треугольника на проведённую к ней высоту для данного треугольника постоянно.

Решение

Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту, То

a^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ = b^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ = c^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ ,

откуда b = ${\frac{4a}{3}}$ и c = ${\frac{5a}{3}}$ . Обозначив ${\frac{1}{3}}$ a = m, получим:

a = 3m, b = 4m, c = 5m.

Треугольник ABC прямоугольный, т.к.

a² + b² = 9m² + 16m² = 25m² = c².

Радиус R его описанной окружности равен половине гипотенузы, т.е.

R = $\displaystyle {\frac{c}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{5m}{2}}$ .

Обозначим CD = x. Тогда

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab, S_BCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ax sin 45^o = $\displaystyle {\frac{ax\sqrt{2}}{4}}$ , S_ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ bx sin 45^o = $\displaystyle {\frac{bx\sqrt{2}}{4}}$ ,

а т.к. S_BCD + S_ACD = S_ABC, имеем уравнение

x(a + b) $\displaystyle \sqrt{2}$ = 2ab,

откуда находим, что

x = $\displaystyle {\frac{ab\sqrt{2}}{a + b}}$ = $\displaystyle {\frac{12m\sqrt{2}}{7}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{CD}{R}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{12m\sqrt{2}}{7}}{\frac{5m}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{24\sqrt{2}}{35}}$ .

Ответ

${\frac{24\sqrt{2}}{35}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2817