Задача 54862

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Вершины B, C, D четырёхугольника ABCD расположены на окружности с центром O, которая пересекает сторону AB в точке F, а сторону AD – в точке E. Известно, что угол BAD прямой, хорда EF равна хорде FB и хорды BC, CD, ED равны между собой. Найдите угол ABO.

Подсказка

Угол BAD равен полуразности дуги BCD и дуги EF, не содержащей точку D.

Решение

  Точки C и D разбивают дугу BE, не содержащую точку F, на три равные дуги. Пусть β – величина каждой из этих трёх дуг, а α – величина каждой из двух равных дуг BF и EF, не содержащих точку D. Тогда  2α + 3β = 2π,  а так как угол BAD равен полуразности дуги BCD и дуги EF, не содержащей точку D, то
½ (2β – α) = ^π/₂.
  Из полученной системы уравнений находим, что  α = ^π/₇.  Искомый угол ABO находим из равнобедренного треугольника BOF:
∠ABO = ∠FBO = ^π/₂ – ^α/₂ = ^3π/₇.

Ответ

^3π/₇.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2808