Задача 54855
|
|
 |
Условие
В треугольнике даны два угла β и γ и радиус R описанной окружности. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение
Пусть в треугольнике ABC ∠B = β, ∠C = γ, r – радиус, O – центр вписанной окружности, K – точка касания этой окружности со стороной AB.
Способ 1. AK = ½ (AB + AC – BC) = R (sin β + sin γ – sin(β + γ)) = R (sin β (1 – cos γ) + sin γ (1 – cos β)) = 4R sin β/2 sin γ/2 sin β+γ/2, а r = AK ctg β+γ/2 = 4R sin β/2 sin γ/2 cos β+γ/2.
Способ 2. OB·OC sin∠BOC = 2SBOC = rBC, то есть , откуда r = 4R sin β/2 sin γ/2 cos β+γ/2.
Ответ
4R sin β/2 sin γ/2 cos β+γ/2.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2801 |
