Задача 54852

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD  (BC || AD)  диагонали пересекаются в точке M,  BC = b,  AD = a.
Найдите отношение площади треугольника ABM к плошади трапеции ABCD.

Подсказка

S_ABM = ^BM/_BD·S_ABD,  ^S_ABD/_SABCD = ^a/_a+b.

Решение

  Из подобия треугольников BMC и DMA следует, что   BM : MD = BC : AD = b : a, поэтому  ^BM/_BD = ^b/_a+b,  S_ABM = ^BM/_BD S_ABD = ^b/_a+b S_ABD.
  Пусть h – высота трапеции. Тогда  S_ABCD = ½ (a + b)h,  S_ABD = ½ ah,  ^S_ABD/_SABCD = ^a/_a+b.
  Следовательно,  ^S_ABM/_SABCD = ^b/_a+b·^S_ABD/_SABCD = ^b/_a+b·^a/_a+b = ^ab/_(a+b)².

Ответ

^ab/_(a+b)².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2798