ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54849
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а острый угол равен $ \alpha$. Найдите длину биссектрисы, проведённой из вершины прямого угла.


Подсказка

Воспользуйтесь теоремой синусов.


Решение

Пусть CD — биссектриса прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла C, AB = c, $ \angle$A = $ \alpha$. Тогда

AC = AB cos$\displaystyle \angle$A = c cos$\displaystyle \alpha$,

$\displaystyle \angle$ADC = $\displaystyle \angle$ABC + $\displaystyle \angle$BCD = 90o - $\displaystyle \alpha$ + 45o = 135o - $\displaystyle \alpha$.

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{CD}{\sin \angle A}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{\sin \angle ADC}}$,

откуда находим, что

CD = $\displaystyle {\frac{AC \sin \angle A}{\sin \angle ADC}}$ = $\displaystyle {\frac{c\cos \alpha \sin \alpha}{\sin (135^{\circ } - \alpha)}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin 2\alpha}{2\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}}$.


Ответ

$ {\frac{c\sin 2\alpha}{2\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2795

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .