ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 54845
УсловиеНа боковой стороне AB трапеции ABCD взята такая точка M, что AM : BM = 2 : 3. На противоположной стороне CD взята такая точка N, что отрезок MN делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найдите отношение CN : DN, если BC : AD = 1 : 2.
ПодсказкаПродолжите боковые стороны трапеции до пересечения в точке P и воспользуйтесь равенством
SMPN = . . SAPD.
Рассмотрите два случая.
РешениеПусть продолжения боковых сторон AB и CD трапеции пересекаются в точке P. Тогда BC — средняя линия треугольника APD. Поэтому
= = .
Обозначим через S площадь трапеции ABCD. Тогда площадь треугольника
BPC равна
S.
Предположим, что площадь четырёхугольника AMND в три раза меньше площади четырёхугольника MBCN. Тогда
SAPD = S, SMBCN = S, SMPN = S + S = S,
а т.к.
SMPN = . SAPD,
то
S = . . S,
откуда находим, что
= > 1, т.е. PN > PD, что
невозможно, т.к. точка N должна принадлежать отрезку CD.
Пусть теперь площадь четырёхугольника MBCN в три раза меньше площади четырёхугольника AMND. Тогда
SAPD = S, SMBCN = S, SMPN = S + S = S,
а т.к.
SMPN = . SAPD,
то
S = . . S,
откуда находим, что
= . Следовательно,
= , = = .
Ответ3:29.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|