Задача 54838

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD таков, что в него можно вписать и около него можно описать окружности. Разность сторон AD и BC равна разности сторон AB и CD. Докажите, что диагональ AC — диаметр описанной окружности.

Подсказка

Докажите, что AC — серединный перпендикуляр к отрезку BD.

Решение

Поскольку в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны, т.е.

AB + CD = AD + BC,

а т.к. по условию

AB - CD = AD - BC,

то AB = AD и CD = BC. Поскольку точки A и C равноудалены от концов отрезка BD, AC — серединный перпендикуляр к BD, а т.к. точки B и D лежат на описанной около четырёхугольника ABCD окржуности, то AC — диаметр этой окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2784