Задача 54831

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P . Длина отрезка, соединяющего вершину C с точкой M , являющейся серединой отрезка AD , равна . Расстояние от точки P до отрезка BC равно и AP = 1 . Найдите AD , если известно, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Решение

Пусть прямая MP пересекает отрезок BC в точке K . Обозначим ADB = ACB = α . Поскольку PM — медиана прямоугольного треугольника APD , проведённая из вершины прямого угла, то

PM = MA = MD, BPK = DPM = ADB = α,
а т.к. CBP = 90^o - α , то
BKP = 180^o - α - (90^o - α) = 90^o,
т.е. PK BC . Значит, PK = .
Из прямоугольных треугольников APD и CKP находим, что
MP = AD = · = , CK = KP ctg α = ctg α,
поэтому
MK = MP + KP = + .
Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику MKC , получим уравнение
( + )2 + ( ctg α)2 = ,
из которого находим, что = . Следовательно,
AD = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2777