Информация о задаче

Задача 54818

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC сторона AB равна 21, биссектриса BD равна 8 $\sqrt{7}$ , а DC = 8. Найдите периметр треугольника ABC.

Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника и теоремы синусов и косинусов.

Решение

Обозначим AD = x, BC = y, $\angle$ ABD = $\angle$ CBD = $\alpha$ .

По свойству биссектрисы треугольника ${\frac{AB}{BC}}$ = ${\frac{AD}{DC}}$ , или ${\frac{21}{y}}$ = ${\frac{x}{8}}$ , откуда находим, что y = ${\frac{21\cdot 8}{x}}$ . По теореме синусов для треугольников ABC и DBC имеем:

$\displaystyle {\frac{AC}{\sin \angle ABC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{\sin \angle C}}$ , $\displaystyle {\frac{DC}{\sin \angle CBD}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{\sin \angle C}}$ ,

или

$\displaystyle {\frac{x + 8}{\sin 2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{21}{\sin \angle C}}$ , $\displaystyle {\frac{8}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{8\sqrt{7}}{\sin \angle C}}$ .

Разделив почленно первое уравнение на второе и применив формулу sin 2 $\alpha$ = 2 sin $\alpha$ cos $\alpha$ , получим, что

$\displaystyle {\frac{x+8}{2\cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{21}{\sqrt{7}}}$ ,

откуда cos $\alpha$ = ${\frac{x+8}{6\sqrt{7}}}$ .

По теореме косинусов из треугольника ABD находим, что

x² = 21² + (8 $\displaystyle \sqrt{7}$ )² - 2^.21^.8 $\displaystyle \sqrt{7}$ ^. $\displaystyle {\frac{x+8}{6\sqrt{7}}}$ ,

или

x² + 56x - 441 = 0,

откуда x = 7. Тогда y = ${\frac{21\cdot 8}{x}}$ = 24. Следовательно, периметр треугольника ABC равен

AB + AC + BC = AB + (AD + CD) + BC = 21 + 7 + 8 + 24 = 60.

Ответ

60.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2764