Задача 54816

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Вокруг треугольника ECB описана окружность, а касательная к этой окружности, проведённая в точке E, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки A, D и F лежат последовательно на этой прямой. Известно, что  AF = a,  AD = b.  Найдите EF.

Подсказка

Докажите подобие треугольников DEF и EAF.

Решение

  Угол, вертикальный с углом DEF, равен углу BCE, поэтому  ∠CAD = ∠BCE = ∠DEF.
  Значит, треугольники DEF и EAF подобны по двум углам. Поэтому  DF : EF = EF : AF,  откуда  EF² = DF·AF = a(a – b).

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2762