Информация о задаче

Задача 54733

Темы:	[	Отношения площадей	]
Темы:	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно k.

Подсказка

Докажите, что центр ромба совпадает с центром параллелограмма и рассмотрите подобные треугольники.

Решение

Пусть вершины M, N, K и L ромба MNKL расположены соответственно на сторонах AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD, а стороны MN и KN ромба соответственно параллельны диагоналям AC и BD параллелограмма, причём ${\frac{AC}{BD}}$ = k. Если $\alpha$ — угол между диагоналями параллелограмма, то

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BD sin $\displaystyle \alpha$ , S_KLMN = MN^.KN sin $\displaystyle \alpha$ = MN²sin $\displaystyle \alpha$ ,

поэтому

$\displaystyle {\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{2MN^{2}}{AC\cdot BD}}$ .

Заметим, что центр ромба совпадает с центром O параллелограмма. Поскольку ON — биссектриса треугольника BOC, то

$\displaystyle {\frac{BN}{CN}}$ = $\displaystyle {\frac{OB}{OC}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{AC}}$ ,

значит,

$\displaystyle {\frac{BN}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{BD + AC}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{1+k}}$ .

Из подобия треугольников BMN и BAC находим, что

MN = AC^. $\displaystyle {\frac{BN}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{1+k}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{2MN^{2}}{AC\cdot BD}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{2AC^{2}}{(1+k)^{2}}}{AC\cdot BD}}$ = 2^. $\displaystyle {\frac{AC}{BD}}$ ^. $\displaystyle {\frac{1}{(1+k)^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{2k}{(1+k)^{2}}}$ .

Ответ

${\frac{2k}{(1+k)^{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2679