Информация о задаче

Задача 54732

Темы:	[	Удвоение медианы	]
Темы:	[	Перегруппировка площадей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Подсказка

На продолжении медианы AM за точку M отложите отрезок MD, равный AM.

Решение

Пусть AM — медиана треугольника ABC, причём AM = 5, AB = 10, AC = 12. На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MD, равный AM. Тогда ABDC — параллелограмм с диагоналями BC и AD, а площадь треугольника ABC равна площади равнобедренного треугольника ABD, в котором AB = AD = 10, BD = 12. Высоту AH треугольника ABD находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH:

AH = $\displaystyle \sqrt{AB^{2} - BH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{100 - 36}$ = 8.

Следовательно,

S_ABC = S_ABD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD^.AH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ 12^.8 = 48.

Ответ

48.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2678