Информация о задаче

Задача 54731

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AB = a, $\angle$ A = $\alpha$ , $\angle$ B = $\beta$ .

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой синусов.

Решение

По теореме синусов ${\frac{{AC}}{{\sin \angle B}}}$ = ${\frac{{AB}}{{\sin \angle C}}}$ , откуда

AC = $\displaystyle {\frac{{AB \sin \angle B}}{{\sin \angle C}}}$ = $\displaystyle {\frac{{a\sin \beta}}{{\sin (180^{\circ }- (\alpha +\beta ))}}}$ = $\displaystyle {\frac{{a\sin \beta}}{{\sin (\alpha +\beta)}}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ AB^.AC sin $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{{a^{2}\sin \alpha \sin \beta}}{{\sin (\alpha +\beta)}}}$ .

Ответ

${\frac{{a^{2}\sin \alpha \sin \beta}}{{2\sin (\alpha + \beta)}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2677