ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54708
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Медианы треугольника ABC, проведённые из вершин B и C, равны 6 и 9 и пересекаются в точке M. Известно, что $ \angle$BMC = 120o. Найдите стороны треугольника.


Подсказка

Пусть BD и CE — медианы треугольника ABC. Тогда BM = $ {\frac{2}{3}}$BD, CM = $ {\frac{2}{3}}$CE.


Решение

Пусть BD и CE — медианы треугольника ABC. Тогда

BM = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$BD = 4, CM = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$CE = 6.

По теореме косинусов из треугольников MBC, BME и CMD находим, что

BC2 = BM2 + CM2 - 2BM . CM cos$\displaystyle \angle$120o = 16 + 36 + 24 = 76,

BE2 = BM2 + EM2 - 2BM . EM cos$\displaystyle \angle$60o = 16 + 9 - 12 = 13,

DC2 = DM2 + CM2 - 2DM . CM cos$\displaystyle \angle$60o = 4 + 36 - 12 = 28.

Следовательно,

BC = $\displaystyle \sqrt{76}$ = 2$\displaystyle \sqrt{19}$AB = 2BE = 2$\displaystyle \sqrt{13}$AC = 2CD = 2$\displaystyle \sqrt{28}$ = 4$\displaystyle \sqrt{7}$.


Ответ

4$ \sqrt{7}$; 2$ \sqrt{13}$; 2$ \sqrt{19}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2654

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .