Задача 54703

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки M и N лежат на сторонах соответственно AD и BC ромба ABCD, причём DM : AM = BN : NC = 2 : 1. Найдите MN, если известно, что сторона ромба равна a, а BAD = 60^o.

Подсказка

Через вершину A проведите прямую, параллельную MN.

Решение

Пусть прямая, проведённая через вершину A параллельно MN, пересекает сторону BC в точке K. Тогда AK = MN, BK = BC. По теореме косинусов из треугольника ABK находим, что

AK² = AB² + BK² - 2AB ^. BK cos 120^o = a² + a² + a² = a².

Следовательно, MN = AK = .

Пусть прямая, проведённая через вершину A параллельно MN, пересекает сторону BC в точке K. Тогда AK = MN, BK = BC. По теореме косинусов из треугольника ABK находим, что

AK² = AB² + BK² - 2AB ^. BK cos 120^o = a² + a² + a² = a².

Следовательно, MN = AK = .

Пусть прямая, проведённая через вершину A параллельно MN, пересекает сторону BC в точке K. Тогда AK = MN, BK = BC. По теореме косинусов из треугольника ABK находим, что

AK² = AB² + BK² - 2AB ^. BK cos 120^o = a² + a² + a² = a².

Следовательно, MN = AK = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2649