Информация о задаче

Задача 54683

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки M, расположенной вне окружности на расстоянии $\sqrt{7}$ от центра, проведены касательная MA (A — точка касания) и секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть секущая пересекает окружность с центром O в точках B и C (B между C и M). Обозначим через x радиус окружности. Тогда BC = x и BM = 2x. Если AM — касательная к окружности (A — точка касания), то по теореме о касательной и секущей

AM² = BM^.CM = 2x^.3x = 6x².

С другой стороны, по теореме Пифагора

AM² = OM² - OA² = 7 - x².

Из уравнения 6x² = 7 - x² находим, что x = 1. Следовательно, AM = $\sqrt{6}$ .

Ответ

$\sqrt{6}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2629