ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54683
Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из точки M, расположенной вне окружности на расстоянии $ \sqrt{7}$ от центра, проведены касательная MA (A — точка касания) и секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите радиус окружности.


Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.


Решение

Пусть секущая пересекает окружность с центром O в точках B и C (B между C и M). Обозначим через x радиус окружности. Тогда BC = x и BM = 2x. Если AM — касательная к окружности (A — точка касания), то по теореме о касательной и секущей

AM2 = BM . CM = 2x . 3x = 6x2.

С другой стороны, по теореме Пифагора

AM2 = OM2 - OA2 = 7 - x2.

Из уравнения 6x2 = 7 - x2 находим, что x = 1. Следовательно, AM = $ \sqrt{6}$.


Ответ

$ \sqrt{6}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2629

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .