Задача 54672

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Дан четырёхугольник ABCD, в котором BC || AD. Точки K и M — середины сторон CD и AD соответственно. Известно, что отрезки AK и CM пересекаются на диагонали BD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Подсказка

Медианы треугольника ACD пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD данного четырёхугольника ABCD. Поскольку AK и CM — медианы треугольника ACD, а DO проходит через их точку пересечения, то DO также медиана треугольника ACD. Поэтому O — середина AC. Из равенства треугольников BOC и DOA (по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует равенство отрезков BO и DO, значит, диагонали четырёхугольника ABCD точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2618