Задача 54661

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок с концами на AB и AC, параллельный стороне BC.

Подсказка

Рассмотрите две пары подобных треугольников.

Решение

Пусть точки P и Q лежат на сторонах AB и AC соответственно,  PQ || BC  и отрезок PQ пересекается с медианой AM в точке K. Треугольник APK подобен треугольнику ABM, а треугольник AQK – треугольнику ACM, поэтому  PK : BM = AK : AM,  KQ : CM = AK : AM,  значит,  PK : BM = KQ : CM,  а так как
BM = CM,  то  PK = KQ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2607