ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54655
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки K и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём  AK = BK  и  AN = 2NC.
В каком отношении отрезок KN делит медиану AM треугольника ABC?


Решение

  Пусть прямые AM и KN пересекаются в точке P.

  Первый способ. Отрезок KM – средняя линия треугольника ABC, поэтому  KM || AC  и  KM = ½ AC = ¾ AN.
  Из подобия треугольников PAN и PMK находим, что   AP : PN = AN : KM = 4 : 3.

  Второй способ. Обозначим  S = SABC,  k = AP/AM.  Тогда  SABM = SACM = S/2SAKN = 1/2·2/3 S = S/3SAKP = k/2·S/2 = kS/4SANP = 2k/3·S/2 = kS/3.
  Поскольку  SAKN = SAKP + SANP,  то  S/3 = kS/4 + kS/3,  откуда  k = 4/7.


Ответ

4 : 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2601

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .