Задача 54630

Темы:    [ Построения (прочее) ] [ Средняя линия трапеции ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На одной из сторон прямого угла даны точки A и B (точка A расположена между вершиной угла и точкой B).
С помощью циркуля и линейки постройте на другой стороне такую точку X, чтобы  ∠AXB = 2∠ABX.

Подсказка

Пусть Y – такая точка отрезка BX, что  AY = AX.  Тогда середину отрезка XY можно построить как пересечение двух геометрических мест точек.

Решение

  Предположим, что нужная точка X построена. Пусть O – вершина прямого угла.
  Возьмём на отрезке BX такую точку Y, что  AY = AX. Если  ∠OBX = α,  то  ∠AXB = 2α, а так как треугольник XAY равнобедренный, то  ∠AYX = 2α.  Поэтому
∠BAY = ∠AYX – ∠OBX = α,  то есть треугольник AYB также равнобедренный.

  Пусть окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре, пересекает отрезок BX в точке M. Тогда AM – высота равнобедренного треугольника XAY. Поэтому M – середина отрезка XY. Если K – середина AB, то прямая, проходящая через точку M параллельно OX, делит отрезок OK пополам.
  Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим на отрезке AB как на диаметре окружность. Через середину E отрезка с концами в центре K этой окружности и в вершине O данного угла проводим прямую, параллельную другой стороне данного прямого угла, до пересечения с построенной окружностью в точке M. Прямая BM пересекает вторую сторону данного угла в искомой точке X.
  Действительно, пусть Y – такая точка на отрезке BX, что  YK ⊥ OB.  Тогда  YA = YB.  Поскольку  EK = EO  и  ME || YK,  то  MY = MX,  а так как  AM ⊥ XY,  то  AX = AY.  Если  ∠ABX = α,  то  ∠AXB = ∠AYM = ∠YAB + ∠YBA = 2α,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2525