Задача 54584

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Метод ГМТ ] [ Удвоение медианы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Постройте треугольник по углу и медиане и высоте, проведённым из вершины этого угла.

Подсказка

Достройте треугольник ABC до параллелограмма, продолжив его медиану AM на отрезок, равный этой медиане.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть угол A равен данному, AM = m — данная медиана, AH = h — данная высота. На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MA₁, равный AM. Тогда четырёхугольник ACA₁B — параллелограмм. Поэтому

ACA₁ = 180^o - A.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим прямоугольный треугольник AMH по катету AH и гипотенузе AM. На продолжении отрезка AM за точку M строим отрезок MA₁, равный AM. Затем на отрезке AA₁ как на хорде строим дугу, вмещающую угол, равный 180^o - A. Пересечение этой дуги с прямой MH дает искомую вершину C. Искомая вершина B симметрична точке C относительно точки M.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2479