Задача 54574

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Постройте равнобедренный треугольник, если заданы основания его биссектрис.

Подсказка

Если AA₁ и CC₁ – биссектрисы равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC),  то треугольник AC₁A₁ – равнобедренный.

Решение

  Предположим, что треугольник ABC  (AB = BC)  построен. Пусть A₁, B₁ и C₁ – основания его биссектрис. Тогда  ∠C₁A₁A = ∠A₁AC = ∠C₁AA₂.  Следовательно, треугольник  AC₁A₁ – равнобедренный:  AC₁ = C₁A₁.

  Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём высоту из вершины B₁ треугольника   A₁C₁B₁. Через точку B₁ проведём прямую, перпендикулярную этой высоте. Радиусом, равным C₁A₁, построим окружность с центром в точке C₁. Одна из двух точек пересечения этой окружности с проведённой ранее прямой есть вершина A искомого треугольника. Аналогично находим вершину B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2469