Информация о задаче

Задача 54570

Темы:	[	Построение треугольников по различным точкам	]
Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC, зная три точки A₁, B₁ и C₁, в которых продолжения его высот пересекают описанную окружность.

Подсказка

Докажите, что биссектрисы треугольника A₁B₁C₁ лежат на высотах треугольника ABC.

Решение

Рссмотрим случай, когда треугольники ABC и A₁B₁C₁ — остроугольные. Предположим, что треугольник ABC построен. Докажем, что биссектрисы треугольника A₁B₁C₁ лежат на высотах треугольника ABC.

Действительно,

$\displaystyle \angle$ AA₁C₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ AC₁ = $\displaystyle \angle$ ACC₁ = $\displaystyle \angle$ ABB₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ AB₁ = $\displaystyle \angle$ AA₁B₁,

т.е. A₁A — биссектриса угла B₁A₁C₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём биссектрисы углов треугольника A₁B₁C₁. Точки пересечения этих биссектрис с описанной окружностью треугольника ABC есть вершины A, B и C искомого треугольника. Действительно, если P — точка пересечения AA₁ и BC, то

$\displaystyle \angle$ APC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \cup$ A₁С + $\displaystyle \cup$ AC₁ + $\displaystyle \cup$ C₁B) = $\displaystyle \angle$ A₁C₁C + $\displaystyle \angle$ AA₁C₁ + $\displaystyle \angle$ BCC₁ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ C₁ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ A₁ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B₁ = 90^o.

т.е. AP — высота треугольника ABC. Аналогично докажем, что остальные высоты треугольника ABC лежат на прямых BB₁ и CC₁.

Аналогично для тупоугольных треугольников.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2465