Информация о задаче

Задача 54564

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Построения с помощью вычислений	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте точку M внутри данного треугольника так, что S_ABM : S_BCM : S_ACM = 1 : 2 : 3.

Подсказка

Площади треугольников с общим основанием относятся как их высоты.

Решение

Построим точки A₁ и B₁ на сторонах BC и AC треугольника ABC так, что

$\displaystyle {\frac{BA_{1}}{A_{1}C}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ , $\displaystyle {\frac{AB_{1}}{B_{1}C}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Искомая точка M — точка пересечения отрезков AA₁ и BB₁.

Действительно, расстояния от точек B и C до прямой AA₁ относятся как ${\frac{1}{3}}$ . Следовательно, так же относятся и площади треугольников ABM и ACM. Аналогично для пары треугольников ABM и BCM.

Ясно, что других точек, удовлетворяющих данному условию, нет.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2459