Информация о задаче

Задача 54505

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9
Название задачи: Луночки Гиппократа.

Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных "луночек" равна площади треугольника.

Подсказка

Пусть a и b — катеты треугольника, c — гипотенуза. Тогда сумма площадей сегментов, отсекаемых катетами от описанного круга данного треугольника, равна ${\frac{\pi c^{2}}{8}}$ - ${\frac{ab}{2}}$ .

Решение

Пусть a и b — катеты треугольника, c — гипотенуза. Тогда сумма площадей указанных "луночек" равна

$\displaystyle {\frac{\pi a^{2}}{8}}$ - s₁ + $\displaystyle {\frac{\pi b^{2}}{8}}$ - s₂,

где s₁ и s₂ — площади сегментов, отсекаемых катетами от описанного круга данного треугольника. Ясно, что

s₁ + s₂ = $\displaystyle {\frac{\pi c^{2}}{8}}$ - $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ .

Следовательно, искомая сумма равна

$\displaystyle {\frac{\pi a^{2}}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{\pi b^{2}}{8}}$ - (s₁ + s₃) = $\displaystyle {\frac{\pi (a^{2} + b^{2})}{8}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi c^{2}}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2269


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	7
Название	Площади криволинейных фигур
Тема	Площади криволинейных фигур
задача
Номер	03.038