Информация о задаче

Задача 54488

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Формула Герона	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается двух других сторон.

Подсказка

Пусть центр O указанной окружности расположен на стороне AB треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOC и BOC.

Решение

Пусть AC = 13, AB = 14, BC = 15, O — центр указанной окружности (O на стороне AB), R — её радиус, P и Q — точки касания окружности со сторонами AC и BC соответственно. По формуле Герона

S_ABC = $\displaystyle \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$ = $\displaystyle \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}$ = 84.

Поскольку OP и OQ — высоты треугольников AOC и BOC, то

S_ABC = S_AOC + S_BOC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.OP + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.OQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AC + BC)R = 14R.

Следовательно,

R = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{14}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{84}{14}}$ = 6.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2252