Информация о задаче

Задача 54482

Темы:	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что одна из её диагоналей равна 5.

Подсказка

Через вершину трапеции проведите прямую, параллельную одной из диагоналей.

Решение

Пусть диагональ BD трапеции ABCD равна 5. Через вершину C основания BC проведем прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке K. Тогда ACK — прямоугольный треугольник, CK = BD = 5.

Пусть H — проекция вершины C на прямую AD. По теореме Пифагора

HK = $\displaystyle \sqrt{CK^{2}- CH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{25 - 16}$ = 3.

Из подобия треугольников ACH и CKH следует, что

AC = $\displaystyle {\frac{CK\cdot CH}{HK}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{20}{3}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = S_ACK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.CK = $\displaystyle {\textstyle\frac{50}{3}}$ .

Ответ

${\frac{50}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2246


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	2
Название	Вычисление площадей
Тема	Площадь треугольника.
задача
Номер	04.008